Definición
Un número racional es un número representado por el cociente de dos números enteros es decir, en forma de fracción (lo que normalmente llamamos quebrado), Por ejemplo: 5/7. El nuero de la izquierda se denomina numerador y el de la derecha denominador
Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a=a/1.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Tipos de números Racionales
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica
- Enteros
- Decimal exacto
- Decimal periódico puro
- Decimal periódico mixto
Enteros
Cualquier número entero se puede poner en forma de fracción de dos enteros, él mismo y la unidad.
Ejemplos
5 10 25
5 = ----- = ------ = ------ = .....
1 2 5
-2 10 2
-2 = ----- = ------ = ------ = .....
1 -5 -1
2900 5800
2900 = -------- = -------- = .....
1 2
0 0 0
0 = ----- = ----- = ----- = .....
1 2 -5
Decimal exacto
Es un número que tiene un número finito de decimales.
Para pasarlo a forma de fracción se escriben todas sus cifras, incluidos los decimales, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Después se puede multiplicar o dividir numerador y denominador por un mismo número para obtener fracciones equivalentes, que todas ellas representan el mismo número racional.
Ejemplos
24 12 36
2,4 = ---- = ---- = ---- = .....
10 5 15
125 25 5
1,25 = ----- = ----- = ----- = .....
100 20 4
45128 5641
45,128 = ------- = -------- =
1000 125
Decimal periódico puro
Es un número que tiene infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente.
Para pasarlo a forma de fracción de números enteros, se escribe en el numerador la parte entera seguida del grupo de cifras del período, y se le resta la parte entera, y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tiene el período.
Ejemplos
234-2 232
2,34343434... = 2,34periodo = ------- = ------
99 99
03-0 3-0 3 1
0,333333... = 0,3periodo = ------ = ----- = ----- = -----
9 9 9 3
Decimal periódico mixto
Es un número que tiene infinitas cifras decimales periódicas, pero tiene algunas, justo detrás de la coma que no se repiten.
Para pasarlos a forma de fracción de números enteros se escribe en el numerador la parte entera seguida de la parte no periódica y del período, menos la parte entera seguida de la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplos
735482-7354 728128
7,3548282828282... = 7,354 82Periodo = ---------------- = ----------
99000 99000
345-3 342
0,345454 = 0,3 45Periodo = ------- = -----
990 990
Una forma de comprobar si has hecho bien el paso de decimal a fracción es coger la calculadora y dividir numerador entre denominador, te tiene que salir el decimal que tenías al principio.
Y ya no hay más
Cualquier número racional tiene una de estas cuatro formas, y viceversa, si coges cualquier fracción de números enteros, al hacer la división verás que siempre te va a dar un número con la forma de una de las cuatro que hemos descrito, o sea o te da entero, o un decimal exacto, o un decimal periódico puro, o un decimal periódico mixto.
Operaciones con números Racionales
Equivalencia
Dos fracciones son equivalentes, y se expresa
Ejemplos
a a' ----- = ----- si a · b' = b · a'. b b' Ejemplo 27 9 ---- = ---- Porque 27 * 12 = 36 * 9 = 324 36 12
Simplificación
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
Ejemplos
a a' * d a' ---- = ---------- = ------- b b' * d b' Por ejemplo: 120 12 ----- = ---- 90 9
La fracción final es el resultado de simplificar dividiendo sus términos por 10.
Fracción irreducible
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
Ejemplos
12 3 ---- = ---- 9 4
Reducción a común denominador
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo ( m.c.m .) de ellos, entonces se dice que se ha reducido al mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones
Ejemplos
2 3 3 ---- ; ---- ; ---- 3 4 5 Se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: 2 60 3 40 3 54 -----= ------ ; ----- = ------ ; ----- = ----- 3 90 4 90 5 90 Es decir, 60 40 54 ---- ; ---- ; ---- 90 90 90
Es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
30 20 27 ---- ; ---- ; ---- 45 45 45
Que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
Suma de fracciones
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
Ejemplos
2 3 3 30 20 27 30 + 20 + 27 77 ----- + ----- + ----- = ---- + ---- + ---- = -------------- = ---- 3 4 5 45 45 45 45 45
Producto de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
Ejemplos
a c a * d ----- * ----- = ------- b d b * c
Inversa de una fracción
La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a, que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
Ejemplos
a b a * b ----- * ----- = ------- = 1 b a b * a
Cociente de fracciones
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
Ejemplos
a p a q a * q ----- : ----- = ----- * ----- = ------- b q b p b * p
Observaciones:
- Para tu tranquilidad te diré que este código ni tiene (ni hace) ninguna maldad
- Esta código fue diseñado para resolver un problema concreto mío, si a ti te sirve de ayuda me alegrare por ello.
Enlaces de descarga
- Enlace de descarga de un único Fichero ZIP con el código de la clase [NumeroRacional]
- Código Md5 del Fichero ZIP de descarga